Suite arithmético-géométrique

Le  1 ^er septembre 2020, une cité scolaire comptait 3 000 élèves. Une étude statistique interne a montré que chaque  1 ^er septembre :

• \(10~\%\)   de l'effectif quitte l'établissement ;
  
• 250 nouveaux élèves s'y inscrivent.
  

On cherche à modéliser cette situation par une suite \((u_n)\) où, pour tout entier naturel  \(n\) ,  `u_n` représente le nombre d'élèves de l'année  \(2\,020+n\) . Par exemple, `u_4` correspond au nombre d'élèves en  2024.

1. Calculer \(u_1\) et  \(u_2\) .

2. La suite  \((u_n)\) est-elle géométrique ? Justifier.

3. Justifier qu'on peut modéliser la situation par la suite  \((u_n)\) définie par : \(u_0={3 \,000}\) et, pour tout entier naturel \(n\) , \(u_{n+1}= 0{,}9 u_n+250\) .

4.  Pour tout entier naturel \(n\) , on pose \(v_n=u_n-{2\,500}\) .

    a.  Démontrer que pour pour entier naturel \(n\) ,  \(v_{n+1}=0{,}9 v_n\) .

    b. En déduire la nature de la suite \((v_n)\) et en donner ses éléments caractéristiques.

    c. Exprimer, pour tout entier naturel \(n\) , \(v_n\) en fonction de \(n\) .

    d. En déduire que pour tout entier naturel \(n\) , \(u_n=500\times 0{,}9^n + {2\,500}\) .

5. La capacité optimale d'accueil est de \({2\,800}\) élèves. Ainsi, au  1 ^er septembre  \(2\,020\) , l'établissement compte un sureffectif de \(200\) élèves.

Écrire un algorithme permettant de déterminer à partir de quelle année, le contexte restant le même, la cité scolaire ne sera plus en sureffectif.